fbpx
Vzdelávanie

Richard Kollár: Matematika pomáha pochopiť svet, cez vzorce jej však žiaci na chuť neprídu

Matematik Richard Kollár pomáha pochopiť vývoj pandémie koronavírusu na Slovensku. Hovorí, že dnes už matematika prenikla úplne do všetkých oblastí, no našich žiakov ju nevieme učiť. Čo by sme mali zmeniť, aby si ku nej vzťah našli? A ako vedia analytici pomôcť politikom? Prečítajte si v rozhovore.


Keď sa škôlkar snaží pochopiť encyklopédiu – tak som si pripadala pri rozhovore s matematikom a dátovým analytikom Richardom Kollárom. Matematika bola pre mňa, rovnako ako pre mnoho mojich spolužiakov, od istého veku strašiak. A úroveň mojich vedomostí je, že už som niekedy počula viaceré termíny, ale netušila by som, čo si s nimi počať, ani ak by na vyriešení diferenciálnej rovnice závisel môj život.

Pred každým stretnutím s človekom, ktorý matematike rozumie, mám ohromný rešpekt. S Richardom Kollárom sme hovorili aj o tom, čo s matematikou na školách, aby nešťastníkov ako ja nepribúdalo. Prečo sa jej mnohí boja, prečo jej nerozumejú, aj čo by sa malo zmeniť. A aj o tom, že to je univerzálna čarovná veda, ktorá pomáha chápať nielen pohyb planét, ale aj správanie sa zvierat či vírusov.

Prvý raz som vaše meno zaregistrovala pred pár mesiacmi. Vtedy ste sa venovali vzorcu na výpočet zákona o športe a prideľovanie peňazí pre jednotlivé športy cez veľké množstvo dát. Dnes vás ľudia registrujú ako glosátora protipandemických opatrení. Čo bežne robí aplikovaný matematik?

Odborne sa venujem matematike ako vede a zároveň vyučujem na viacerých študijných programoch na Univerzite Komenského v Bratislave. Učím predmety ako parciálne diferenciálne rovnice, základy matematickej analýzy, alebo pokročilú matematickú biológiu pre doktorandov, ale aj základy matematiky pre biológov na Prírodovedeckej fakulte. Vo výskume sa zameriavam na matematické modelovanie a kvalitatívnu analýzu matematických modelov.

Matematické modely popisujú rôzne veci a procesy. Tie môžu byť biologické, sociálne, spoločenské, fyzikálne alebo chemické. Sú to procesy, ktoré sú bežne pozorovateľné a chceme im lepšie porozumieť. Skúmame ich pomocou matematických rovníc a aparátu. Tie sú zostavené buď na základe fyzikálnych a chemických zákonov alebo empirických pravidiel. Okrem zostavenia modelov, študujem vlastnosti výsledkov, ktoré modely vytvárajú, najmä ich časovú dynamiku. Napríklad, ak chceme vedieť, akou rýchlosťou sa šíria varianty vírusov, alebo ako stabilné sú vlny, ktoré vznikajú a vodnej hladine.

Richard Kollár. FOTO – Archív RK

Z ďalších projektov spomeniem jeden, ktorý je pozastavený kvôli koronavírusu. Skupina biológov pod vedením Michala Zemana na Prírodovedeckej fakulte UK študuje správanie hlodavcov a ich cirkadiálne rytmy. To znamená, že ako reagujú na svetlo, jedlo, ako sa vôbec správajú počas dňa a ako sa mení ich správanie. Chceli sme im pomôcť zodpovedať niektoré zaujímavé a dôležité otázky, ktoré si kladú – napríklad čo v správaní hlodavcov spôsobuje neštandardné rytmy, ktoré sú kratšie ako dvadsaťštyri hodín.

Ďalším modelom, na ktorom som sa podieľal so svojim doktorandom bolo množenie pivných kvasiniek. Nie, nie nepili sme pri tom pivo. V skutočnosti sme sa snažili realisticky namodelovať to, ako sa kvasinky delia a ako nerovnomerne rastú počas ich bunkového cyklu. Aké to má dôsledky pre celú ich populáciu. Je to dosť komplikovaný proces, no vedie k zaujímavým matematickým problémom.

Toto všetko mi znie fantazijne, zvláštne. Vedeli by ste mi povedať, aké nástroje používate na chápanie sveta pomocou matematiky?

Dobrým príkladom môže byť pandémia, ktorá sa teraz často využíva pri výučbe dynamických modelov. Predstavme si, že by sme chceli vedieť, akým spôsobom narastá alebo klesá počet infikovaných v populácii. Tento model a ostatné, ktoré som spomínal, sa takmer všetky popisujú diferenciálnymi rovnicami. Sú to rovnice, ktoré hovoria o tom, ako rýchlo sa niečo mení. Celá fyzika alebo chémia je popísaná zákonmi, ktoré sme sa učili na základnej škole. V skutočnosti sú tými zákonmi dynamické a rovnice, ktoré ich popisujú, popisujú rýchlosť zmeny.

Pri pandémii zvyčajne hovoríme o obyčajných diferenciálnych rovniciach. Budeme hovoriť o zjednodušenom modeli. Predstavme si krajinu, napríklad Slovensko. Predstavme si, že máme uzavreté hranice. To znamená, že nikto nemôže cez nich prejsť a nemáme ani žiadnych pendlerov. Nikto necestuje. Ľudia neprechádzajú ani mimo hraničných priechodov. Veľmi zjednodušene si v tej krajine predstavme tri skupiny ľudí. Jedna skupina je infikovaná. Budeme predpokladať, že každý infikovaný je zároveň infekčný. Potom máme skupinu ľudí, ktorá sa ešte neinfikovala – zdraví ľudia. Tí sa ešte môžu infikovať. Potom máme ľudí, ktorí prešli infekciou – vyzdravení ľudia. Predstavme si, že v tomto období sa nikto nerodí a nikto nezomrie na iné ochorenia. Teraz sa budeme pýtať na to, ako sa bude meniť počet infikovaných.

Matematika popisuje rovnicami práve to, ako môžu vzniknúť noví infikovaní a ako sa infikovaní strácajú. To, že sa strácajú je jasné. Infikovaný môže buď zomrieť, alebo sa vyzdravie. To sa dá zapísať matematickou rovnicou, ktorá hovorí o tom, že v danom momente klesá týmto spôsobmi počet infikovaných. Toto znie ako obyčajná veta, no na jej základe sa dá napísať diferenciálna rovnica, s ktorou sa dá dobre pracovať. Môžeme sa opýtať aj na to, ako tí infikovaní vznikajú. Infikovaní vznikajú tak, že sa infikovaný stretne so zdravým a infikovaný infikuje zdravého. To znamená, že sa tu nachádza ešte člen, ktorý bude o to väčší, čím viac je infikovaných. Tým viac bude takýchto kontaktov a prenosov a čím viac je zdravých, tak tiež bude viac takýchto kontaktov.

Čiže člen bude vyzerať takto: počet infikovaných krát počet zdravých krát nejaký koeficient, ktorý hovorí o tom, ako často sa stretávajú v priemere a aká je šanca, že sa môže infekcia preniesť. Toto sú diferenciálne rovnice. Na ich základe sa dajú robiť predikcie alebo kvalitatívne úvahy o tom, ako prebieha epidémia.

Avšak takýto jednoduchý model poskytuje len veľmi zjednodušený pohľad a preto je pri interpretácii jeho záverov byť opatrný. Doplnenie niektorých faktorov, akými sú nehomogenita populácie, môže niektoré veci zmeniť principiálne.

Koľko máte na Slovensku kolegov, ktorí dokážu niečo takéto riešiť, na tak vysokej úrovni?

Na toto je veľmi ťažké odpovedať. Určite to budú desiatky alebo stovky. No veľa ľudí na Slovensku, ktorí robia fyziku, strojárske inžinierstvo alebo biomedicínsky výskum majú vnútri svojich prác buď štatistické, alebo dynamické modely vo forme evolučných rovníc. Už sa to stáva bežnou súčasťou. Keby ste si pozreli časopis Nature, tak takmer každý článok má za sebou nejaký matematický model. To znamená, že momentálna veda – či už prírodné, ale dokonca aj sociálne a ekonomické vedy – používajú koniec koncov matematike, keď chcú formulovať kvantitatívne výsledky. Matematika je jazyk, ktorý poskytuje porozumenie a testovanie hypotéz. Otázku by som možno pozmenil, že ako je možné, že sa tomu ešte nevenujú všetci. Samozrejme, že veda sa dá robiť aj iným spôsobom, ale momentálne napríklad mobil, ktorý držíte v ruke je pravdepodobne založený na tisíckach vedeckých prác ľudí, ktorí používali matematické modely.

Matematika je jazyk, ktorý poskytuje porozumenie a testovanie hypotéz.

Keď ste boli chlapec vedeli ste, že toto chcete robiť celý život?

Matematike som sa nadpriemerne venoval už od útleho detstva, možno od troch rokov. U mňa to bola pomerne jasná voľba. No skôr som uvažoval o tom, že budem jadrovým fyzikom, netuším prečo, ale bolo to tak. Nakoniec ma jadrová fyzika až tak nezaujala. Okrem matematiky robím aj iné veci. Musím však povedať, že keď som študoval matematiku na vysokej škole na Slovensku, nevnímal som ju vtedy ako študent ako vedu, ktorá pomáha chápať svet. Skôr som ju videl, ako teoretickú vedu, ktorá skúma abstraktné objekty a snaží sa ich popisovať. Rozumel som tomu, prečo sa to robí, ale neprišlo mi to dosť zaujímavé, skôr ako len pokročilé riešenie naozaj ťažkých hlavolamov.

Následne som bol jedenásť rokov v Spojených štátoch amerických, kde som študoval doktorandské štúdium a neskôr som prešiel pár vedeckých pozícií na pracoviskách, kde som sa venoval  aplikovaniu matematiky. Zrazu som sa ocitol na workshopoch, ktoré boli zamerané napríklad na matematické modelovanie štruktúry DNA alebo jednoatómových vrstiev v materiáloch a tie ma extrémne zaujali. Vtedy som pochopil, že matematika je skutočný spôsob porozumenia veciam okolo nás.

Myslíte si, že školy vedú deti k tomu, aby sa hlásili na štúdium, ktoré je buď humanitne, alebo technicky zamerané? Asi nie je veľa ľudí, ktorí by súčasne milovali dejiny a matematiku.

Ja ale poznám veľa takých ľudí. Ľudia, ktorí sa venujú matematike sa často venujú dejinám, jazykom, kultúre alebo hudobným nástrojom. Problém s matematikou zrejme spočíva práve v tom, ako ju vyučujeme. Môj pohľad na toto je veľmi radikálny. Spôsob, ktorým ju vyučujeme je veľmi nešťastný a zároveň veľmi demotivujúci. Deti si matematiku potom predstavujú iba ako písmenká a vzorce. Matematiku takto vôbec nevnímam.

Na Prírodovedeckej fakulte Univerzity Komenského fungoval dlhé roky predmet Matematika pre biológov. Predmet sa venoval nástrojom matematiky a počítaniu príkladov. Ľudia, ktorí ho viedli si v istý moment povedali, že takýto predmet nie je pre študentov užitočný. Povedali si, že sa na ňom študenti nenaučia nič, čo budú ďalej potrebovať. A v princípe mali úplnú pravdu. Zrušili teda výučbu matematiky, čo je úplne absurdné, pretože všade vo svete sa matematika považuje za jeden zo základných predmetov pre biológov. Tým, že ju zrušili však urobili správne, pretože matematika na tomto konkrétnom predmete bola aj z môjho pohľadu kontraproduktívna. Odhovárala ľudí od toho, aby sa učili matematiku alebo pochopili jej zmysel. Matematika študentov učila nejaké nástroje, ktoré nevedeli aplikovať. Pár rokov dozadu po mojom návrate z USA tak vznikol predmet, na ktorom momentálne prednášam a učím biológov matematiku úplne inak. Učím ich najmä, ako čítať grafy, a ako ich vytvárať, teda ako porozumieť aspoň jednej časti matematického jazyka.

Jedna z úloh, ktorú študenti riešia je napríklad táto: koľko by stála jedna miliarda kusov horaliek. Snažím sa na tomto príklade študentov naučiť porozumieť, ako matematika funguje, na čo je dobrá a ako by ju mohli použiť pri tom, čomu sa venujú. Samozrejme, nenaučím ich, ako počítať úplne rutinné príklady alebo ako používať vzorce, toho už videli v škole za veľa rokov dosť. Za celý semester nemáme vlastne asi žiaden vzorec. Je to skôr motivačný kurz, no práve toto je niečo, čo v školách absolútne chýba.

Momentálne sa odborne venujem matematickým modelom v biológii, ktorá ma fascinuje. No pamätám si seba na strednej alebo základnej škole na hodine biológie, ktorú som neznášal. Biológiu som považoval za úplne zbytočnú. Bolo to memorovanie naspamäť toho, ako sa niečo volá, alebo čo to je. Dnes vnímam biológiu, ako dynamické správanie prírody. Prečo veci fungujú, tak ako fungujú? Prečo má zebra pruhy? Prečo vyzerajú práve tak ako vyzerajú?  Zrazu tieto biologické javy začnú byť zaujímavé z matematického hľadiska. Ľudia, ktorým sa matematika zdala nezáživná a nudná, mali smolu. Ľutujem ich, pretože nemali šancu vidieť, aké sú tieto javy zaujímavé.

Dá sa matematika učiť aj inak, aby ľudia nemali pocit, že z tej pokročilej vo svojom živote nebudú mať osobne žiaden osoh?

Áno, samozrejme. Všetky predmety od výtvarnej cez telesnú až po pracovné vyučovanie je možné učiť tak, aby to študentov bavilo a motivovalo. Problémom je u nás spôsob, ako je vyučovanie organizované. Učíme ako za Márie Terézie. Dokonca sa mnohokrát učíme to isté, čo sa učilo za Márie Terézie, čo osobne považujem za neuveriteľné. Práve krajiny, ktoré sú najúspešnejšie technologicky alebo vo vzdelávaní, robia výuku úplne iným spôsobom. Ako stredoškolák som chodil na medzinárodné matematické olympiády. Neskôr som na nich chodil aj ako vedúci so slovenským tímom. Chodili tam najtalentovanejšie deti na Slovensku, vtedy ešte v Československu. My sme boli v top desať na svete a Fíni možno šesťdesiati. Teraz oni bojujú o prvú desiatku a my sme šesťdesiati.

Udialo sa to, že u nás škola ostala taká istá a ich škola sa modernizovala. My zaostávame aj za Rakúskom, Nemeckom a asi aj Českou republikou. Naši učitelia nie sú motivovaní aby zostali pracovať v školstve, aby sa zlepšovali a aby zavádzali moderné metódy. Takto vyzerá aj vysoké školstvo. Veľká časť prednášok, ktoré prednášame sa prednášala pred tridsiatimi rokmi z tých istých poznámok.

Učíme ako za Márie Terézie. Dokonca sa mnohokrát učíme to isté, čo sa učilo za Márie Terézie, čo osobne považujem za neuveriteľné.

V čom je matematika iná, ako pred tridsiatimi rokmi? Čo by sme mali zmeniť, aby sme na tom boli ako Fíni?

Predstavte si, že máte spočítať odmocninu z troch. Samozrejme sa to dá spočítať a je to dôležité. V osemnástom storočí to bolo veľmi dôležité vedieť. Dnes to už nepočítame, dnes na to máme kalkulačku. Takto sa vyvíjala aj veľká časť matematiky, ktorú nahradili počítače. My stále učíme veci, ktoré sú založené na robustnom počítaní. Áno, aj to treba, ale možno na to nie je potrebné klásť až taký dôraz pre všetkých študentov. Namiesto toho, by sme mohli učiť študentov riešiť problémy s otvoreným koncom.

Napríklad spomínaná úloha s horalkami. Pri nej zrazu musíte uvažovať nad úplne inými rámcami. Nie je to miliarda krát cena jednej horalky. Dokáže to vôbec niekto v tomto objeme dodať? Musíte tie horalky vedieť vyrobiť, zabaliť, priviezť ich, uskladniť. Plus postupne sa kazia, preto treba zarátať aj to, ako ich kto dokáže predať. To všetko vstupuje do ceny. Je vôbec na svete dostatok cukru na ich výrobu?

Svet sa zmenil. Je rok 2021 a hrozne veľa informácií je k dispozícii okamžite. Potrebujete len vedieť, ako s nimi pracovať a ako ich vyhľadávať. Skôr potrebujete vedieť, na čo tie informácie sú. Nepotrebujete si pamätať všetky ročníky niečoho, čo sa udialo v histórii, ale potrebujete rozumieť tomu, ako spolu súviseli. Takže rovnice ostali rovnaké, ale kontext sa úplne zmenil. Matematika prenikla do všetkých oblastí.

Prečo by vás matematických analytikov mali počúvať politici?

Otázku by som formuloval asi inak. Tu nejde o to, aby nás počúvali, ale je dôležité, aby nechali svoje myšlienky pripomienkovať ľuďom, ktorí sa na problémy pozrú komplexne alebo z pohľadu dát. Neočakávame, že prídeme za politikmi a povieme im – pozrite, toto má byť takto, takto to robte. Práve naopak, analytické zložky by mali prispieť k tomu, aby politici mali správne informácie. Na jednej strane by sa na ich základe vedeli kvalifikovane rozhodovať.

Na druhej strane by mali materiály, ktoré pripravujú ministerstvá prejsť poriadnym oponovacím procesom. K materiálom by sa mali vyjadriť ľudia z rôznych odborov, vrátane antropológov, sociológov či ekonómov. Ak robíme veci, ktoré sú multiodborové, je nesmierne dôležité, aby sa na nich pozreli odborníci z rôznych strán. V dnešnej dobe často nejde o to, že by sme nemali dáta, no ide o to vedieť sa v nich vyznať. Ak chceme napríklad v meste rozšíriť cestu alebo postaviť cyklochodník, potrebujeme vyhodnotiť dáta toho, ako sa ľudia pohybujú.

Počas pandémie sme mohli vidieť, že konzílium odborníkov je postavené z epidemiológov a infektológov, no nie sú tam sociológovia, ekonómovia, dátoví analytici, nie je tam psychológ ani právnik. Nie sú tam odborníci, ktorí by tam boli potrební. Tento jednostranný prístup zďaleka nestačí. Väčšina problémov, ktorým čelíme, či už globálne otepľovanie, kríza so školstvom, alebo zanedbané zdravotníctvo sú medziodborové problémy. Vo všetkých potrebujeme komplexné tímy. Matematika je len spoločným jazykom týchto skupín. Neznamená to, že vláda má počúvať matematikov. V žiadnom prípade nie. Matematici majú pomôcť ostatným formulovať myšlienky, politiky a odporúčania, tak aby boli čo najlepšie pre občanov v krajine.

Pandémia ukazuje, že táto vaša myšlienka je dôležitá. Aj na úrovni samospráv by sa mohli robiť rozhodnutia lepšie.

Bratislavský magistrát prevádzkuje stránku opendata.bratislava.sk, na ktorej uverejňuje zaujímavé dáta. Tie spracúvajú a používajú ich na plánovanie ďalších akcií. Keď si všimnite to, ako argumentuje mesto, tak veľmi často používajú dátové analýzy a práve diskusie s odborníkmi z mnohých strán. Nie všetky mestá toto používajú, ale viem, že v Bratislave to celkom funguje. Je to veľmi progresívne, so všetkými konotáciami tohto slova.

Takisto treba povedať, že počas pandémie sa priamo primátori obracali na odborníkov s tým, či majú plánovať plošné testovanie. Boli to mestá Trenčín, Nitra, Košice a ďalšie. Primátori sami identifikujú problém a chcú sa rozhodnúť, čo najlepšie lokálne pre nich. Veľmi často nedôverujú  plošným riešeniam, ktoré nemusia byť optimálne práve pre ich mesto.

Čo sa týka ministerstiev, vlády a štátnych orgánov, tak každé ministerstvo už má vlastný inštitút dátovej analýzy. Tvrdím, že toto nestačí. Je dobré, že títo analytici pracujú, no oni sú často zaťažení tým, že majú pohľad len z jednej strany. Okrem inštitútov dátovej analýzy navyše potrebujú konfrontáciu s odborníkmi, ktorí nie sú priamo z ministerstva, no často sú z iných odborov. Často im môže uniknúť niečo veľmi dôležité.

 Je niekde na svete krajina, ktorá počúva analytikov viac?

V Ázii sme to mohli vidieť hneď po vypuknutí pandémie, okamžite ju zverili do rúk odborným inštitútom, ktoré to vedeli veľmi dobre riešiť. Rovnako sme to mohli vidieť aj v Nemecku a vo Veľkej Británii. Je to úplne bežný postup. Skôr ťažko nájdete krajinu, ktorá krajina to ešte nerobí.

Väčšina problémov, ktorým čelíme, či už globálne otepľovanie, kríza so školstvom, alebo zanedbané zdravotníctvo sú medziodborové problémy. Vo všetkých potrebujeme komplexné tímy.

Asi by sa to nemalo diať iba v situáciách keď nám horí dom. Nemalo by sa to tak robiť pri bežných štátnych rozhodnutiach? 

Áno, boli aj u nás obdobia keď tieto veci fungovali. Napríklad v čase, keď sme zavádzali druhý a tretí dôchodkový pilier. Žiaľ, odvtedy boli zásahy doňho poväčšine veľmi neodborné. Od politikov by som neočakával, že budú počúvať odborníkov. No nie počúvať v zmysle „poslúchať“. To by ani nebolo dobré, pretože zodpovednosť majú politici. Bolo by dobré, keby politici mali k dispozícii dobre pripravené informácie alebo si vedeli vybrať z možností, ktoré im pripravia odborníci. Mám pocit, že u nás zlyháva tá druhá zložka. Politici často nemajú kvalitné informácie alebo keď ich majú, tak si riešenia vyberajú iným spôsobom.

Čo je pre vás momentom, kedy si poviete, že napriek všetkému – že vidíte nerozumné rozhodnutia politikov a nefunkčné riešenia či zlý stav vzdelania, stojí za to tu ostávať, učiť študentov a bojovať ďalej?

Zvyčajne, keď sa o niečo snažíme a nedarí sa nám to, sme frustrovaní. To je úplne bežné, pretože ľudia, ktorí sa o niečo snažia a bojujú, bojujú dlhodobo. Veľa ľudí vyhorí a vzdá sa. Škoda, že nemáme prostredie, ktoré by ich viac motivovalo alebo povzbudzovalo. Jediný spôsob, ako dosiahnuť zmenu je vytrvať v úsilí. Snáď to spoločné úsilie zmení našu krajinu k lepšiemu.

Ja som sa vracal na Slovensko s tým, že toto  je krajina, v ktorej nejdú veci jednoducho, ale zároveň poskytuje veľké možnosti veci ovplyvniť. Ovplyvniť fungovanie Nemecka alebo Spojených štátov Amerických jednotlivcom je veľmi ťažké. No na Slovensku sa každý jednotlivec počíta. Každý jeden môže urobiť pomerne veľkú zmenu.

dve-percenta-labut

Profil autora:

Bývalá novinárka z STV, TA3 či televízie Markíza. Dnes PR manažérka jednej z politických strán, lektorka na Sokratovom inštitúte, mama dvojčiat.

Názory

Anna Jančová

Čo povedia?

Viete, čo by som pripla nad dvere každej zborovne? Veľký nápis: “Ver tomu, čo robíš”. Alebo “Ty si expert na vzdelávanie”.

Zuzana Labašová

Akú hodnotu má ľudský potenciál?

Pred niekoľkými mesiacmi sme v Komenského inštitúte dostali ponuku na spoluprácu. Bola písaná v lámanej slovenčine, popretkávaná anglickými a francúzskymi vetami. Cieľom bolo priniesť na slovenské školy a slovenským žiakom a študentom projekt, ktorý by ich inšpiroval a motivoval rozvíjať svoje talenty a potenciál.

marie-stracenska
Marie Stracenská

Prečo? Kto? Čo chce?

Cesta ráno do práce. Sadám do auta a telefón si magnetom pripínam na ventilátor. Automatika. Do ucha slúchadlo a audiokniha. Po pár kilometroch do rozprávania románu cinkne upozornenie – začína sa tlačovka. Takto zrána? Ok, kliknem na odkaz, veď počúvať môžem hocičo, aj tlačovku.

zuzana-gallayova
Zuzana Gallayová

Do roka a do dna

Sú dni, kedy ideme do dna svojich síl. Lektorky aj učiteľky. Pretože v krízovom režime sa dá ísť obmedzený čas.

marie-stracenska
Marie Stracenská

Čo nás učí dištanc

Trpezlivosť, výdrž, pokora. Heslo vzdelávania roku 2021.